Copiar arquivos no Delphi

{ - Coloque um Button no Form;
  - Altere o evento OnClick deste Button conforme abaixo: }

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
  Origem, Destino: string;
begin
  Origem := 'c:\Origem\NomeArq.txt';
  Destino := 'c:\Destino\NomeArq.txt';
  if not CopyFile(PChar(Origem), PChar(Destino), true) then
    ShowMessage('Erro ao copiar ' + Origem + ' para ' + Destino);
end;

No exemplo acima, se o arquivo já existir no destino, a função falha (não copia).
Para que a função possa sobreescrever o arquivo destino (caso exista), altere o último parâmetro de CopyFile para false.
CUIDADO! Se um arquivo for sobreescrito, estará perdido para sempre!